已知函數(shù)f（x）=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取最大值時x的取值集合；
（2）在△ABC中，若f（A）=3，b+c=
3
a，求角B．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出最值．
（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用正弦定理得，最后求出B的值．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x=
3
sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+
π
6
）+2
所以；當2x+
π
6
=2kπ+
π
2
時，
即：{x|x=kπ+
π
6
}（k∈Z）時，函數(shù)f（x）max=4
（2）利用（1）的結(jié)論，
由于0＜A＜π，
當A=
π
3
時，f（A）=3．
進一步利用：b+c=
3
a，
則：sinB+sinC=
3
sinA，
由于：A+B+C=π，
sinB+sin（
2π
3
-B）=
3
2

所以：cosB+
3
sinB=
3

sin（B+
π
6
）=
3
2

根據(jù)三角函數(shù)的變換關(guān)系進一步求得：B=
π
6
．
點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值，解三角形知識，正弦定理的應用．屬于基礎題型．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）函數(shù)h（x）=x2（x≤0）是否是正函數(shù)？若是，求h（x）的等域區(qū)間，若不是，請說明理由；
（2）已知f(x)=x
1
2
是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（3）試探究是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
4
=1的焦點為（4，0），則此雙曲線的漸近線方程是（　　）
A、
2
x±y=0
B、x±
3
y=0
C、
3
x±y=0
D、x±
2
y=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R都有f（x）=f（x+4），當x∈（-2，0）時，f（x）=2x，則f（2013）-f（2011）的值為（　�。�
A、-1
B、1
C、
1
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|mx2-mx+1=0}只有一個真子集，則實數(shù)m的值為（　　）
A、0B、4C、0或4D、0或-4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-a恰好有兩個不同的零點，則a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a=
1+tan10°
1-tan10°
，b=tan10°+tan50°+
3
tan10°•tan50°，則下列各式正確的為（　�。�
A、a＜b＜
a2+b2
2
B、a＜
a2+b2
2
＜b
C、b＜
a2+b2
2
＜a
D、b＜a＜
a2+b2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列1，2，4，8…前n項和Sn=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲同學有一只裝有a個紅球，b個白球，c個黃球的箱子，假設a≥0，b≥0，a+b+c=6，乙同學有一只裝有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子．甲、乙兩同學各自從自己的箱子中隨機取出一個球，然后對取出的球的顏色進行比較，規(guī)定顏色相同時為甲同學勝，顏色不同時為乙同學勝，假設甲同學箱子中的每個球被取出的概率相等，乙同學箱子中的每個球被取出的概率也相等，
（1）求證：乙同學勝的概率等
24-a+c
36
；
（2）假設甲同學勝的概率等于
1
2
，求a，b，c的值．

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