Question

【題目】已知A，B，C是橢圓W： 上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點(diǎn)（2，0）

∴直線AC是BO的垂直平分線，可得AC方程為x=1

設(shè)A（1，t），得 ，解之得t= （舍負(fù)）

∴A的坐標(biāo)為（1， ），同理可得C的坐標(biāo)為（1，﹣ ）

因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面積為S= |AC||B0|= ；

（2）解：∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，

設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點(diǎn)是圓x2+y2=r2

與橢圓W: 的公共點(diǎn)，解之得 =r2﹣1

設(shè)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2，可得A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足

x1=x2= ，或x1= 且x2=﹣ ，

①當(dāng)x1=x2= 時(shí)，可得若四邊形OABC為菱形，則B點(diǎn)必定是右頂點(diǎn)（2，0）；

②若x1= 且x2=﹣ ，則x1+x2=0，

可得AC的中點(diǎn)必定是原點(diǎn)O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC

綜上所述，可得當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．

【解析】（1）根據(jù)B的坐標(biāo)為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到線段AC的長(zhǎng)等于 ．再結(jié)合OB的長(zhǎng)為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時(shí)菱形OABC的面積；（2）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標(biāo)滿足 =r2﹣1，從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．