Question

已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有兩實(shí)根，試問：
（1）m為何值時(shí)，該方程一個根大于1，一個根小于1；
（2）m為何值時(shí)，該方程兩實(shí)根在（0，4）內(nèi)；
（3）m為何值時(shí)，該方程兩實(shí)根在[1，3]外．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，求得m的范圍，令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）由f（1）=4m+21＜0，求得m的范圍．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得m的范圍．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得m的范圍．

解答： 解：已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有兩實(shí)根，∴△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，
求得m≤-5，或 m≥1．
令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）當(dāng)f（1）=4m+21＜0，即m＜-

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4

時(shí)，該方程一個根大于1，一個根小于1．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得-5.4＜m≤-5，故當(dāng)-5.4＜m≤-5時(shí)，該方程兩實(shí)根在（0，4）內(nèi)．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得 m＜-

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，故當(dāng)m＜-

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4

 時(shí)，該方程兩實(shí)根在[1，3]外．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．