已知各項(xiàng)不為零數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
，且對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am•an，求：
（1）
an
a1n
的值；
（2）(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2的值．
分析：（1）令m=1，推導(dǎo)出
an+1
an
=
2
3
，從而得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
2
3
，公比為q=
2
3
的等比數(shù)列，由此能求出
an
a1n 
的值．
（2）由
an+1
an
=
2
3
，把(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2等價(jià)轉(zhuǎn)化為(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．
解答：解：（1）令m=1，得an+1=a1•an，…（3分）
∵an≠0，∴
an+1
an
=a1=
2
3
，…（4分）
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
2
3
，公比為q=
2
3
的等比數(shù)列 …（5分）
于是an=
2
3
•（
2
3
）（n-1）=（
2
3
）n，
∴
an
a1n 
=1．…（7分）
（2）∵
an+1
an
=a1=
2
3
，
∴(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2
=(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2…（9分）
=
(
2
3
)2(1-(
2
3
)2•1007)
1-(
2
3
)2
…（11分）
=
4(1-(
2
3
)2•1007)
5
…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•湖北模擬）對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b，c∈N*)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0、2，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1，求證：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）設(shè)bn=-
1
an
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T2008-1＜ln2008＜T2007．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，則稱xo為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，求證：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）設(shè)bn=-
1
an
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T2009-1＜ln2009＜T2008．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)=
x2
ax-b
（a，b∈N）有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為0、2，且b＜3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足：4Sn•f(
1
an
)=1，且Sn=a1+a2+…+an，Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N）有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且f（-2）＜-
1
2
，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，求數(shù)列通項(xiàng)an；
（3）如果數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=f（an），求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an＜3成立．

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