Question

已知α，β是銳角，sin（α+β）=

11

14

，cosα=

1

7

，求cosβ．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意和cosα的值確定α+β的范圍，由平方關(guān)系求出sinα和cos（α+β），并由角的范圍進(jìn)行取值，利用兩角差的余弦公式求出cos[（α+β）-α]即cos（α+β）的值．

解答： 解：因?yàn)棣潦卿J角，cosα=

1

7

＜

1

2

，
所以

π

3

＜α＜

π

2

，sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，
則

π

3

＜α+β＜π，即cos（α+β）＜

1

2

由sin（α+β）=

11

14

得，cos（α+β）=±

1-sin2(α+β)

=±

5 3

14

，
因?yàn)?span id="in1xcio" class="MathJye">

5 3

14

＞

1

2

，所以cos（α+β）=-

5 3

14

，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=（-

5 3

14

）×

1

7

+

11

14

×

4 3

7

=

39 3

98

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角差的余弦公式，平方關(guān)系，變角的應(yīng)用，以及利用三角函數(shù)值的大小縮小角的范圍，屬于中檔題．