已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是正三角形,E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF⊥平面PAD;
(Ⅱ)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大�。�
解:方法1:(Ⅰ)證明:∵平面PAD⊥平面ABCD, ∴ ∵E、F為PA、PB的中點(diǎn), ∴EF∥AB,∴EF (Ⅱ)解:過(guò)P作AD的垂線,垂足為O, ∵ 取AO中點(diǎn)M,連OG,EO,EM, ∵EF∥AB∥OG, ∴OG即為面EFG與面ABCD的交線 (8分) 又EM∥OP,則EM 故OG ∴tan ∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是 方法2:(I)證明:過(guò)P作PO 則PO ∵PA=PD 得 故 ∵ ∴EF (Ⅱ)解: 設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為 則 平面ABCD的一個(gè)法向量為 平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是: |
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π | 2 |
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1 | 4 |
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