Question

6．已知圓C₁的方程為x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）求當(dāng)圓的面積最大時圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求（1）中求得的圓C₁關(guān)于直線l：x-y+1=0對稱的圓C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的面積最大時半徑最大，寫出圓C₁半徑r的解析式，求出半徑最大值以及對應(yīng)的圓C₁的方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出圓C₁的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，即可寫出對稱圓圓C₂的方程．

解答 解：（1）圓C₁的面積最大，即圓的半徑最大，
則圓C₁的半徑為$r=\frac{1}{2}\sqrt{{D^2}+{E^2}-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{-4{m^2}+8m+12}=\sqrt{-{m^2}+2m+3}$，
即$r=\sqrt{-{{（m-1）}^2}+4}$，
因此當(dāng)m=1時圓C₁的半徑最大，最大值為2，…（3分）
此時圓C₁的方程為x²+y²-4x+2y+1=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y+1）²=4；…（6分）
（2）由（1）知圓C₁的圓心坐標(biāo)是（2，-1），半徑為2，設(shè)圓C₂的圓心為（a，b），
則C₁C₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{a+2}{2}，\frac{b-1}{2}）$，直線C₁C₂的斜率為${k_{{c_1}{c_2}}}=\frac{b+1}{a-2}$，…..（9分）
由題意，直線l垂直平分線段C₁C₂，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}-\frac{b-1}{2}+1=0}\\{\frac{b+1}{a-2}=-1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}}\right.$；…（12分）
所以，所求圓C₂的方程為（x+2）²+（y-3）²=4．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了求點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．