已知f(x)=
q,當x=
p
q
(p,q∈N+,
p
q
為既約真分數(shù),0<p<q)
0,x為(0,1)中的無理數(shù)

證明:對任意x0∈(0,1),任意正數(shù)δ,(x0-δ,x0+δ)?(0,1),有f(x)在(x0-δ,x0+δ)上無界.
考點:分段函數(shù)的應用
專題:證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:可取x0∈(x0-δ,x0+δ)?(0,1)上的有理數(shù)
p
q
,則f(x0)=q,若x0∈(x0-δ,x0+δ)?(0,1)上的無理數(shù),則f(x0)=0,由q的整數(shù)性質(zhì),即可判斷.
解答: 證明:可取x0∈(x0-δ,x0+δ)?(0,1)上的有理數(shù)
p
q
,
則f(x0)=q,
由于x0任意,q無最大值,
若x0∈(x0-δ,x0+δ)?(0,1)上的無理數(shù),
則f(x0)=0,
對任意x0∈(0,1),任意正數(shù)δ,(x0-δ,x0+δ)?(0,1),
有f(x)在(x0-δ,x0+δ)上無界.
點評:本題考查分段函數(shù)及運用,考查函數(shù)的值域和有界性,屬于基礎(chǔ)題.
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1
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π
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]
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