Question

已知函數f（x）=2sinx+2sin（x-

π

3

）．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知f（A）=

3

，a=

3

b，證明：C=3B．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦定理

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）運用兩角差的正弦公式，即可化簡，再由正弦函數的單調增區(qū)間，即可得到；
（2）由f（A）=

3

，及0＜A＜π，即可得到A=

π

3

，再由正弦定理，及邊角關系，即可得證．

解答： （1）解：函數f（x）=2sinx+2sin（x-

π

3

）
=2（sinx+

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=2

3

sin（x-

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，
則f（x）的單調遞增區(qū)間是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）證明：由f（A）=

3

，則sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由0＜A＜π，則-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
則A=

π

3

，
由

a

sinA

=

b

sinB

，a=

3

b，則sinB=

1

2

，
由a＞b，A=

π

3

，B=

π

6

，C=

π

2

，
故C=3B．

點評：本題考查三角函數的化簡，正弦函數的單調區(qū)間，考查正弦定理及邊角關系，注意角的范圍，屬于中檔題．