Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-2x+k，k∈R，當(dāng)a+b≤2時(shí)，在定義域[a，b]內(nèi)值域也是[a，b]，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A．(0，

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  )
• B．[0， 

  5

  4

  )
• C．(1，

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  )
• D．[0，1]

Answer 1

分析：根據(jù)題意可算出a＜1，將函數(shù)化成f（x）=（x-1）²+k-1，可得函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，關(guān)于直線x=1對(duì)稱．當(dāng)b＜1時(shí)f（x）在[a，b]上遞減，得f（a）=b且f（b）=a，兩式聯(lián)解得a+b=1且ab=k-1，得到a、b是關(guān)于t的方程t²-t+k-1=0兩根，再利用根的分布規(guī)律列式，解出1＜k＜

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；當(dāng)b≥1時(shí)可得f（1）=k-1=a且f（a）=a²-2a+k，結(jié)合b∈[1，2-a]化簡(jiǎn)得到k的不等式，解得0≤k≤1．最后加以綜合，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x²-2x+k=（x-1）²+k-1
∵a+b≤2，∴由a＜b得2a＜a+b≤2，即a＜1，
①當(dāng)b＜1時(shí)，由函數(shù)y=f（x）的圖象是開口向上的拋物線，關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
可得f（x）在區(qū)間[a，b]上遞減，得f（a）=b且f（b）=a，
∴

a2-2a+k=b b2-2b+k=a

，兩式相加減、化簡(jiǎn)得：a+b=1且ab=k-1
于是a、b可看成是方程t²-t+k-1=0兩根，
∵方程t²-t+k-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)根a＜1且b＜1，
∴

△=1-4(k-1)＞0 12-1+k-1＞0

，解之得1＜k＜

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；
②當(dāng)b≥1時(shí)，根據(jù)題意有：

a=f(1)=k-1＜1 b=f(a)=a2-2a+k 1≤b≤2-a

，
消去a、b化簡(jiǎn)得：1≤k²-3k+3≤3-k，解之可得0≤k≤1．
綜上所述，可得0≤k≤

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，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0， 

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)．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了一元二次方程根的分布、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的值域與最值和不等式組的解法等知識(shí)，屬于中檔題．