Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．

（1）若建立函數模型制定獎勵方案，試用數學語言表述該公司對獎勵函數模型的基本要求，并分析函數是否符合這個要求，并說明原因；

（2）若該公司采用函數作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）① 是定義域上是增函數；② 恒成立；③ 恒成立．不符合公司要求．（2）．

【解析】

試題分析：（1）要將文字語言轉化為數學語言主要依據是相應概念的理解，由獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，可聯想到函數增減性的定義;由獎金不超過9萬元，可聯想到函數的值域;由獎金不超過投資收益的20%，收益就是題中的值，即可用來表示，判斷給定函數是否符合題意其實也就是去遂一進行檢驗; （2）所給函數是一個分式型函數，先采用分子分離的方法化簡一下，以便出增函數得出一個關于的不等式，結合單調增易得最大值，由其小于等于9得到關于的第二個條件，再由代入可得一不等式恒成立，進而得到關于的第三個條件，這三條件共同確定出的范圍．

試題解析：（1）設獎勵函數模型為，按公司對函數模型的基本要求，函數滿足：當時，

① 是定義域上是增函數；

② 恒成立

③ 恒成立．                                          3分

對于函數模型，當時，是增函數；

，∴恒成立；

但當時，，即不恒成立． 

綜上，該函數模型不符合公司要求．                              6分

（2）對于函數模型，即，

① 當，即時，在上是增函數； 8分

② 為使對在恒成立，則，即； 10分

③ 為使對在恒成立，則，

即，即對恒成立， 12分

綜上，，又，∴．                            14分

考點：1.文字語言與數學語言的互化;2.函數的單調性;3.函數的值域