設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）;（2）;（3）

【解析】(1)設Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）,知     

，由 ,可知為中點．

從而得到,，進一步計算可求出記心率的值.

（2）由⑴知，可求出△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=,

所以再利用圓心到直線l的距離等于半徑a,可得到關于a的方程解出a值，從而得到橢圓C的方程.

(3) 設，平行四邊形是菱形可轉化為, ,

所以,則,然后直線MN與橢圓方程聯(lián)立，消y，再借助韋達定理來解決即可.

解：（1）設Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）

知 

，

由于 即為中點．

故，  

故橢圓的離心率             （4 分）

（2）由⑴知得于是（，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（-，0），半徑r=|FQ|=

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求橢圓方程為           （8 分）

（3）由（Ⅱ）知     ：

  代入得

設，

則，        （10分）

由于菱形對角線垂直，則                  

故       

則

       （12分）

由已知條件知且          

    

故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．   （13分）

 

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（2012•藍山縣模擬）設橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．則橢圓C的離心率為
1
2
1
2
．

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（本題滿分12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且．

（1）求橢圓的離心率； （2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，

求橢圓的方程；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市朝陽區(qū)高三上學期期末理科數(shù)學卷 題型：解答題

設橢圓：的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過，，三點的圓恰好與直線：相切. 過定點的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線的斜率，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形. 如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若實數(shù)滿足，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆山西省第一學期高三12月月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

設橢圓：的左、右焦點分別是，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖．若拋物線：與軸的交點為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于兩點，求面積的最大值．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2010-2011學年重慶市主城八區(qū)高三第二次學業(yè)調研抽測文科數(shù)學卷 題型：解答題

設橢圓：的左、右焦點分別為、，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且⊥．

 （Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；                       

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，

若點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍．      

 

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