Question

15．已知過點(diǎn)M（1，-1）的直線l與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為3x-4y-7=0．

Answer 1

分析 方法一：設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得直線AB的斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可求得直線l的方程；
方法二：設(shè)M（1+m，-1+n），N（1-m，-1-n），代入橢圓方程，作差，由直線l的斜率$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，利用點(diǎn)斜式方程，即可求得直線l的方程．

解答 解：方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{{（{y}_{1}+{y}_{2}）（y}_{1}-{y}_{2}）}{3}$=0，
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{3}{4}$，
則直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，則直線l的方程方程y+1=$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：3x-4y-7=0，
故答案為：3x-4y-7=0．
方法二：由點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則設(shè)M（1+m，-1+n），N（1-m，-1-n），
則$\frac{（1+m）^{2}}{4}+\frac{（-1+n）^{2}}{3}=1$，①
$\frac{（1-m）^{2}}{4}+\frac{（-1-n）}{3}=1$，②
兩式相減得：$\frac{2m}{4}+\frac{-2n}{3}=0$，
整理得：$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，
直線AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，則直線l的方程方程y+1=$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：3x-4y-7=0，
故答案為：3x-4y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．