Question

已知圓O：x²+y²=1，點(diǎn)P在直線l：2x+y-3=0上，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)．
（1）求切線長(zhǎng)PA的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為直線y=x與直線l的交點(diǎn)，若在平面內(nèi)存在定點(diǎn)N（不同于點(diǎn)M），滿足：對(duì)于圓 O上任意一點(diǎn)Q，都有為一常數(shù)，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，而|PO|最短時(shí)，OP垂直于直線2x+y-3=0，由此可得結(jié)論；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯(lián)立，可得交點(diǎn)坐標(biāo)M（1，1），設(shè)Q（m，n），N（x，y），利用為一常數(shù)，建立等式，根據(jù)Q的任意性，即可求得結(jié)論；
（3）由題意，四點(diǎn)P，A，O，B共圓，當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時(shí)，|PA|最小，∠APB最大，取得最小值．
解答：解：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短時(shí)，OP垂直于直線2x+y-3=0，所以最短|OP|=，
所以|PA|²=|PO|²-R²=
即|PA|最小時(shí)，|PA|=
直線2x+y-3=0的斜率是k=-2，則PO的斜率是k'=，所以O(shè)P方程是y=
將方程y=與直線2x+y-3=0聯(lián)立，解得：x=，故有y=，即點(diǎn)P坐標(biāo)是（，）；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯(lián)立，可得交點(diǎn)坐標(biāo)M（1，1），設(shè)Q（m，n），N（x，y）
則=（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x²+y²-3λ+1=0
∵對(duì)于圓 O上任意一點(diǎn)Q，都有為一常數(shù)，
∴，解得x=y=λ=，
∴N（，）
（3）由題意，四點(diǎn)P，A，O，B共圓，當(dāng)且僅當(dāng)圓與直線相切時(shí)，|PA|最小，∠APB最大，取得最小值
由（1）知P坐標(biāo)是（，）；
設(shè)A（a，b），則過(guò)A的切線方程為：ax+by=1，將（，）代入可得，
∵a²+b²=1
∴a=，b=，或a=，b=
∴=（-，-）•（-，-）=
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．