Question

已知定義在[1-2a，2-a]上的偶函數f（x），當x≥0時，f（x）=x+e^x，若f（t）＜f（2t-1）．則t的取值范圍是（　�。�

• A、[-1，1]
• B、[0，1]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[0，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據復合函數單調性可知當x≥0時，函數為增函數，再由偶函數圖象在對稱區(qū)間上單調性相反，可得當x≤0時，f（x）為減函數，故不等式f（t）＜f（2t-1，可變形為|t|＜|2t-1|，解得t的取值范圍．

解答： 解：偶函數f（x）定義域關于原點對稱，則1-2a+2-a=0，解得a=1，則函數定義域為[-1，1]，
∵當0≤x≤1時，f（x）=x+e^x，此時函數為增函數，
∴當-1≤x≤0時，f（x）為減函數，
則要使f（t）＜f（2t-1），只需|t|＜|2t-1|，
兩邊平方，化簡得3t²-4t+1＞0，即（3t-1）（t-1）＞0，解得t＜

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3

，或t＞1，
又由函數定義域有-1≤t≤1，且-1≤2t-1≤1，即0≤t≤1，
所以0≤t＜

1

3

，
故選：D．

點評：本題考查的知識點是函數單調性，函數奇偶性的綜合應用，及絕對值不等式的解法，綜合性強，難度中檔．