Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面平面是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是矩形，，為上一點(diǎn)，且.

（1）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正切值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；

【解析】

（1）先根據(jù)三角形的中位線和矩形的性質(zhì)得到線線平行，再根據(jù)面面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，

又底面是矩形，所以，所以.

在中，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得.

又，平面，平面，

，平面，平面，

所以平面平面.

（2）連接，因?yàn)?/span>是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.又平面平面，平面平面，

所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，.

設(shè)平面的法向量為，

則得所以，令，則，

所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成的角為，

則.

假設(shè)存在符合題意的，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，化簡整理得，得.

所以當(dāng)，即為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為.