Question

已知f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設x∈[-e，0），利用函數為奇函數，得到f（-x）=-f（x），將f（-x）的值代入，求出f（x）在x∈[-e，0）的解析式．
（2）求出f′（x）=0的根，討論根不在定義域內時，函數在定義域上遞增，求出最小值，令最小值等于4，求a；根在定義域內，列出x，f′（x），f（x）d的變化情況表，求出函數的最小值，列出方程求a值．

解答：解：（1）設x=[-e，0），則-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函數，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函數f（x）的解析式為：f(x)=

ax-2ln(-x)x∈[-e，0) ax+2lnx，x∈(0，e]

（2）假設存在實數a，使得當x∈（-e，0]時，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵f′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

．
①當

2

a

≤-e，即-

2

e

≤a＜0時，
由于x∈[-e，0），則f'（x）≥0．故函數f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函數．
∴所以f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

（舍去）
②當

2

a

＞-e，即a＜-

2

e

時，則

x	(-e， 2 a )	( 2 a ，0)
f'（x）	-	+
f（x）	↘	↗

∴f(x)min=f(

2

a

)=2-2ln(-

2

a

)=4，解得a=-2e
綜上所知，存在實數a=-2e，使得當x∈[-e，0）時，f（x）最小值4．

點評：解決是否存在這種探索性的題時，一般是假設存在，然后去求，求出則存在，求不出就不存在．