Question

20．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d=2，S₁₀=120．
（1）求a_n；      
 （2）若b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n-1}}}$，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）通過公差d=2可知S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，進而可知數列{a_n}是以3為首項、2為公差的等差數列，計算即得結論；
（2）通過（1）可知a_n=2n+1，通過分母有理化、裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），并項相加即得結論．

解答 解：（1）依題意，S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，
解得：a₁=3，
∴數列{a_n}是以3為首項、2為公差的等差數列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n-1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（ $\sqrt{2n+1}$-1）
=$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$．

點評 本題考查數列的通項與求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．