Question

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且有（

2

a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，求tan（

π

4

+A）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，求出cosB的值即可，即可確定出B的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理求出cosA的值，進(jìn)而求出tanA的值，原式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把tanA的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）由條件（

2

a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：

2

sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

2

2

，
又B為三角形內(nèi)角，
∴B=

π

4

；
 （2）∵向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即5（cos2A+1）+4（3cosA-4）=0，
整理得：5cos²A+6cosA-8=0，
解得：cosA=

4

5

或cosA=-2（舍去），
又0＜A＜π，∴A為銳角，
∴sinA=

3

5

，tanA=

3

4

，
則tan（

π

4

+A）=

1+tanA

1-tanA

=7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．