4.已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列,S6=S11,有以下四個(gè)結(jié)論:
(1)a9=0
(2)當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn取最大值
(3)存在正整數(shù)k使得Sk=0
(4)存在正整數(shù)m使得Sm=S2m
其中正確的是(1),(2),(3).

分析 設(shè)公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,結(jié)合條件可得a1=-8d,由通項(xiàng)公式可判斷(1);由d<0,結(jié)合數(shù)列的各項(xiàng)的符號(hào),即可判斷(2);由等差數(shù)列的求和公式,解方程結(jié)合m,k為正整數(shù)即可判斷(3),(4).

解答 解:由數(shù)列{an}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列,設(shè)公差為d,S6=S11,
可得6a1+$\frac{6×5}{2}$d=11a1+$\frac{11×10}{2}$d,
化簡可得a1=-8d,
(1)a9=a1+8d=0,故正確;
(2)由an=a1+(n-1)d=(n-9)d,
由d<0,a1>0,…,a8=-d>0,a9=0,a10<0,
可得當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn取最大值,故正確;
(3)Sn=na1+$\frac{n(n-1)}{2}$d=d•$\frac{{n}^{2}-17n}{2}$,
由Sn=0,可得n2-17n=0,解得n=17∈N,
故存在正整數(shù)17使得S17=0;
(4)由Sm=d•$\frac{{m}^{2}-17m}{2}$,S2m=d•$\frac{4{m}^{2}-34m}{2}$,
由Sm=S2m,可得m2-17m=4m2-34m,
解得m=0或m=$\frac{17}{3}$.
則不存在存在正整數(shù)m使得Sm=S2m
其中正確的是:(1),(2),(3).
故答案為:(1),(2),(3).

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的最值的求法,考查方程思想,以及化簡整理的運(yùn)算能力和判斷能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.如圖,在多面體ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,且△ABC是的邊長為4的等邊三角形,AE=2,CD與平面ABDE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$,F(xiàn)是線段CD上一點(diǎn).
(Ⅰ)若F是線段CD的中點(diǎn),證明:平面CDE⊥面DBC;
(Ⅱ)求二面角B-EC-D的平面角的正弦值.

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15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系.
(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,直線l與x軸的交點(diǎn)為P,求|PM|•|PN|的值.

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12.某車間計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸,乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸.已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸.生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元,生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元,分別用x,y表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)
(Ⅰ)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸,才能使得利潤最大?并求出此最大利潤.

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19.?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且a1,a4,a5恰為某等比數(shù)列的前三項(xiàng),那么該等比數(shù)列公比的值 為$\frac{1}{3}$.

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9.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的兩個(gè)焦點(diǎn),且|F1F2|=2,點(diǎn)$(\sqrt{2},\frac{{\sqrt{6}}}{2})$在該橢圓上.
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16.若x>-1,則函數(shù)$y=x+\frac{1}{x+1}$取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值為0.

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