Question

5．已知A（x₁，y₁）是拋物線y²=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B（x₂，y₂）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)N（1，0），若AB∥x軸，且x₁＜x₂，則△NAB的周長(zhǎng)l的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，2）
• B． （$\frac{10}{3}$，4）
• C． （$\frac{51}{16}$，4）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程和橢圓方程分別求得他們的準(zhǔn)線方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，過(guò)A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根據(jù)拋物線和橢圓的定義求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BI|•$\frac{1}{2}$=$\frac{4-{x}_{2}}{2}$，進(jìn)而表示出三角形周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)整理后，求得周長(zhǎng)L關(guān)于x₂的表達(dá)式，聯(lián)立拋物線和橢圓方程求得兩曲線的交點(diǎn)，判斷出x₂的范圍，進(jìn)而確定L的范圍．

解答 解：依題意可知拋物線準(zhǔn)線為x=-1 ，
橢圓右準(zhǔn)線為x=4，
設(shè)A（x₁，y） B（x₂，y），
過(guò)A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，
由圓錐曲線第二定義，
|NA|=|AH|=x₁+1，
|NB|=|BI|•$\frac{1}{2}$=$\frac{4-{x}_{2}}{2}$，
L=x₁+1+x₂-x₁+$\frac{4-{x}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{2}+6}{2}$．
聯(lián)立拋物線和橢圓方程求得x=$\frac{2}{3}$或-6（舍負(fù)），
∴$\frac{2}{3}$≤x₂≤2，
∴$\frac{10}{3}$≤$\frac{{x}_{2}+6}{2}$≤4，
即L的取值范圍是（$\frac{10}{3}$，4）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓和拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．