Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，F(xiàn)是CC₁上一點，且CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

證明：（1）因為AB=AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC．
又側(cè)面CC₁B₁B⊥平面ABC，所以AD⊥面CC₁B₁B
又B₁F?面CC₁B₁B，所以AD⊥B₁F
在Rt△B₁C₁F中，tan∠C₁B₁F=，在Rt△DCF中 tan∠CFD=，
所以∠C₁B₁F=∠CFD，∠C₁FB₁+∠CFD=-∠C₁B₁F+∠CFD=，∠B₁FD=π-（∠C₁FB₁+∠CFD）=
即FD⊥B₁F，所以B₁F⊥平面ADF；．…（6分）
解：（2）延長FD、B₁B交于G，則AG為所求二面角的棱．由Rt△FCD≌Rt△GBD得：CF=GB=2a．
過B₁作B₁H⊥AG，且B₁H與AG交于H，又 B₁F⊥平面ADF，F(xiàn)H⊥AG，
∠B₁HF為所求二面角的平面角．
由Rt△ABG和Rt△B₁HD相似得：B₁H=．又B₁F==，所以 sin∠B₁HF=．
即所求二面角的正弦值是．…（12分）
分析：（1）根據(jù)已知中D是BC的中點，我們可得AD⊥面CC₁B₁B，進(jìn)而AD⊥B₁F，F(xiàn)D⊥B₁F，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面ADF；
（2）延長FD、B₁B交于G，則AG為所求二面角的棱，過B₁作B₁H⊥AG，且B₁H與AG交于H，可得∠B₁HF為所求二面角的平面角，解三角形B₁HF即可得到平面ADF與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是證明出AD⊥B₁F，F(xiàn)D⊥B₁F，（2）的關(guān)鍵是求出∠B₁HF為所求二面角的平面角．