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3.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+4)=f(x),f(x)={2xx1.1]x2+2x+1x13],當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),方程f(x)-4xa=0(a>0)有且只有3個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值為(e是自然對數(shù)底數(shù))( �。�
A.128eln2B.129C.e28ln2D.e29

分析 作出函數(shù)f(x)的圖象,利用程f(x)-4xa=0(a>0)有且只有3個(gè)不等實(shí)根,等價(jià)為函數(shù)g(x)=4xa與直線f(x)=2(x-4)相切,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值即可.

解答 解:由f(x)-4xa=0得f(x)=4xa,
∵f(x+4)=f(x),
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),
作出函數(shù)在[0,+∞)上的圖象如圖:
若方程f(x)-4xa=0(a>0)有且只有3個(gè)不等實(shí)根,
則等價(jià)為當(dāng)3≤x≤5時(shí),-1≤x-4≤1,此時(shí)f(x)=f(x-4)=2(x-4),
函數(shù)g(x)=4xa與直線f(x)=2(x-4)相切,
設(shè)切點(diǎn)為(m,n),n=4ma,
則g′(x))=4xaln4,則g′(m)=4maln4,
則對應(yīng)的切線方程為y-4ma=4maln4(x-m),
即y=4maln4(x-m)+4ma=4maln4x+4ma(1-mln4),
∵f(x)=2(x-4)=2x-8,
∴4maln4=2且4ma(1-mln4)=-8,
兩式相除得4maln44ma1mln4=-28,
ln41mln4=-14,即m=4ln4+1ln4=4+1ln4=4+log4e,
則4m=44+log4e=444log4e=28e,
則a=24mln4=228e2ln2=128eln2,
故選:A.

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相切問題,利用到是的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,有一定的難度.

練習(xí)冊系列答案
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