Question

【題目】已知三棱柱中，平面，于點，點在棱上，滿足.

若，求證:平面;

設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，若，試判斷命題“”的真假，并說明理由.

Answer 1

【答案】證明見解析 假命題，理由見解析

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，過和平行的直線為軸，以所在的直線為建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量，只需證明，即可得出結(jié)論成立；

根據(jù)中建立的坐標系，分別求出平面與平面的法向量，表示出兩向量的夾角，根據(jù)題意，即可求出結(jié)果.

因為，設(shè)，則

，所以，，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，過和平行的直線為軸，以所在的直線為建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以，

，

，

所以，，

所以，所以，

，

設(shè)為平面的法向量，則

即，取，則，

所以，而，所以，

又因為直線在平面外，

所以平面 .

由可知，，

因為，所以.

所以，

所以，所以，

，設(shè)為平面的法向量.

則，即，

取，則，

，

因為平面，所以，因為，

所以與的法向量平行，

取，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

所以

對于，若把看作的函數(shù).

則此函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，在是單調(diào)遞減的，

所以，所以，

所以不存在，使得，

命題“”是假命題.