對于函數(shù)f(x)，使x-f(x)=0的x叫做f(x)的不動點，容易求得f(x)=x2的不動點為0和1；f(x)是否有不動點與函數(shù)g(x)=x-f(x)的性質(zhì)密切相關(guān).

(1)求f1(x)=的不動點；

(Ⅱ)設(shè)a＞0，且a≠1，求使f2(x)=logax有不動點的a的取值范圍.

解:(Ⅰ)x-f1(x)=0,即x-=0,

解得x1=0,x2=1,x3=-1.

所以，函數(shù)f1(x)的不動點為0,1,-1. 

(Ⅱ)令g(x)=x-f2(x)-x-logax(x＞0),

則g′(x)=1-. 

(1)若0＜a＜1,則logae＜0, g′(x)＞0,

則g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又g(a)=a-1＜0,g(1)=1＞0,所以g(x)=0

即x-f2(x)=0在(0，1)內(nèi)有一根. 

(2)若a＞1，則當x∈(0,logae)時，(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減，

當x∈(logae,+∞)時，(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增；

當x=logae時，g(x)有最小值logae-loga(logae).

由g(1)=1＞0知，當且僅當logae-loga(logae)≤0時，g(x)=0即x-f2(x)=0有實根.

由a＞1，知

logae-loga(logae)≤0logae≤loga(logae)e≤logaeae≤e1＜a≤.

綜合所述，a的取值范圍是(0,1)∪.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•山東模擬）對于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)①f(x)=4x+
1
x
-5，②f(x)=|log2x|-(
1
2
)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；
命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x1，x2，且x1x2＜1．
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是（　　）
A、①B、②C、①③D、①②

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)=a-
12x+1
(a∈R)：
（1）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給予證明；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆遼寧省盤錦市高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

對于函數(shù)f(x),在使f(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，把M中的最大值稱為函

數(shù)f(x)的“下確界”，則函數(shù)的下確界為（     ）

A.          B.          C. 1        D. 2

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案