Question

直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2，E、F分別是BC、AA₁的中點(diǎn).

(1)求異面直線EF和A₁B所成的角；

(2)求直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積.

Answer 1

思路解析：要求異面直線所成的角，可以考慮求相關(guān)向量的夾角，而求相關(guān)向量的夾角時(shí)，可以先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，從而得到相關(guān)的向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積知識(shí)求得結(jié)果.

解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB、AC、AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A₁(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2,0).

 

∵E、F分別是BC、AA₁的中點(diǎn)，

∴E(1,1,0)、F(0,0,).

∴=(-2,0,2)，=(-1,-1,).設(shè)與的夾角為θ，

則cosθ==

∵0≤θ≤π.∴θ=，∴異面直線EF和A₁B所成的角為.

(2)直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積V=AB·AC·AA₁=×2×2×2=4.