(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐

中,底面
ABCD是正方形,側(cè)棱

底面
ABCD,

,
E是
PC的中點,作

交
PB于點
F.
(I) 證明:
PA∥平面
EDB;
(II) 證明:
PB⊥平面
EFD;
(III) 求三棱錐

的體積.

解:(1)證明:連結(jié)
AC,
AC交
BD于
O,連結(jié)
EO∵底面
ABCD是正方形,∴點
O是
AC的中點
在

中,
EO是中位線,∴
PA //
EO而

平面
EDB且

平面
EDB,
所以,
PA // 平面
EDB. ................4分
(2)證明:∵
PD⊥底面
ABCD且

底面
ABCD,∴

∵
PD=
DC,可知

是等腰直角三角形,而
DE是斜邊
PC的中線,

∴

①
同樣由
PD⊥底面
ABCD,得
PD⊥
BC∵底面
ABCD是正方形,有
DC⊥
BC,∴
BC⊥平面
PDC而

平面
PDC,∴

②
由①和②推得

平面
PBC而

平面
PBC,∴

又

且

,所以
PB⊥平面
EFD.................8分
(3)∵

,
由
PD⊥平面
ABCD,∴
PD⊥
BC,
又∵
BC⊥
CD,
PD∩
CD=
D,∴
BC⊥平面
PCD,
∴
BC⊥
PC.
在△
BDE中,

,
∴

,即
DE⊥
BE.
而由(2),
PB⊥平面
EFD,有
PB⊥
DE,因而
DE⊥平面
BEF,
在
Rt△
BPD中,

,

;
Rt△
BEF中,

.
∴

. ........14分
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、

;

、

;

、

;

、

。
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正方體

中,

,

是

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★______.
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,線段

所在直線方程為

,線段

所在直線方程為

,求四邊形

繞

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,則該圓錐的體積為 ( )
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