Question

（2010•懷柔區(qū)模擬）已知函數f(x)=-cosx+cos(

π

2

-x)，x∈R
（1）求f（x）的周期；
（2）若x∈(0，

π

4

)，且sin2x=

1

3

，求f（x）的值．

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的第二項利用誘導公式化簡，提取

2

后，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（1）由化簡后的函數解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數f（x）的周期；
（2）由x的范圍，利用正弦及余弦函數的圖象與性質可判斷出sinx與cosx的大小，然后利用完全平方公式化簡（cosx-sinx）²，根據同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡，把sin2x的值代入可求出值，開方可得cosx-sinx的值，再利用完全平方公式化簡（cosx+sinx）²，根據同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡，把sin2x的值代入可求出值，開方可得cosx+sinx的值，兩者聯立可得sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入化簡后的f（x）解析式可求出f（x）的值．

解答：解：函數f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）
=-cosx+sinx=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
（1）∵ω=1，∴f（x）的周期T=

2π

ω

=2π；
（2）因為x∈(0，

π

4

)，所以cosx＞sinx，且sin2x=2sinxcosx=

1

3

，
又（cosx-sinx）²=cos²x-2sinxcosx+sin²x=1-sin2x=1-

1

3

=

2

3

，
所以cosx-sinx=

6

3

，
則f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）=-cosx+sinx=-

6

3

．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，以及三角函數的化簡求值，涉及的知識有誘導公式，兩角差的正弦函數公式，二倍角的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，在求函數周期時，應先根據三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的三角函數值，然后找出ω的值可求出周期，第二問靈活運用同角三角函數的基本關系及二倍角的正弦函數公式求出sinx和cosx的值是解題的關鍵，同時注意根據x的范圍判斷得出cosx-sinx的符號．