Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c且

cosC

cosB

=

3a-c

b

（Ⅰ）求sinB
（Ⅱ）若b=4

2

，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，即可求出sinB；
（Ⅱ）由條件利用余弦定理、基本不等式可得（a+c）²≤96，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，由此求得a+c的最大值，即可求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB，
∴sinA=3sinAcosB，
∴cosB=

1

3

，
∴sinB=

2 2

3

；
（Ⅱ）∵b=4

2

，
∴由余弦定理可得32=a²+c²-2accosB=a²+c²-

2

3

ac=（a+c）²-

8

3

ac≥（a+c）²-

8

3

•(

a+c

2

)2=

1

3

（a+c）²，
∴（a+c）²≤96，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，
故 a+c≤4

6

，
∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為4

6

+4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查和角的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．