Question

已知函數(shù)f(x)=5sinxcosx+5

3

cos2x-

5 3

2

；
（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和的正弦公式將解析式化為f(x)=5sin(2x+

π

3

)，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出函數(shù)的增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（I）和正弦函數(shù)的最大值，令2x+

π

3

=

π

2

+2kπ求x的表達(dá)式，即所求的集合．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f(x)=

5

2

sin2x+

5 3

2

(1+cos2x)-

5 3

2

=

5

2

sin2x+

5 3

2

cos2x
=5(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=5sin(2x+

π

3

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解得，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，（k∈z）
∴f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，(k∈Z)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=5sin(2x+

π

3

)，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

+2kπ時(shí)，即x=kπ+

π

12

，k∈Z 時(shí)，f（x）_max=5，
此時(shí)自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了形如y=sin（ωx+φ）的函數(shù)性質(zhì)，主要利用兩角和、差的正弦公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用“整體思想”和正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．