【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，為坐標原點，點到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用表示出點到直線的距離；再利用和的關(guān)系得到方程，求解得到標準方程；（2）當直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，利用斜率之和為得到與的關(guān)系，將直線方程化為，從而得到定點；當斜率不存在時，發(fā)現(xiàn)直線也過該定點，從而求得結(jié)果.

（1）解：由題意可知：直線的方程為，即

則

因為為等腰直角三角形，所以

又

可解得，，

所以橢圓的標準方程為

（2）證明：由（1）知

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為

代入，得

所以，即

設(shè)，，則，

因為直線與直線的斜率之和為

所以

整理得

所以直線的方程為

顯然直線經(jīng)過定點

當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為

因為直線與直線的斜率之和為，設(shè)，則

所以，解得

此時直線的方程為

顯然直線也經(jīng)過該定點

綜上，直線恒過點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，曲線由部分橢圓：和部分拋物線：連接而成，與的公共點為，，其中所在橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）過點的直線與，分別交于點，（，，，中任意兩點均不重合），若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】社區(qū)服務是高中學生社會實踐活動的一個重要內(nèi)容，漢中某中學隨機抽取了100名男生、100名女生，了解他們一年參加社區(qū)服務的時間，按，，，，（單位：小時）進行統(tǒng)計，得出男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務時間的頻率分布直方圖.

（1）完善男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表和女生參加社區(qū)服務時間的頻率分布直方圖.

抽取的100名男生參加社區(qū)服務時間的頻率分布表

社區(qū)服務時間

人數(shù)

頻率

0.05

20

0.35

30

合計

100

1

學生社區(qū)服務時間合格與性別的列聯(lián)表

不合格的人數(shù)

合格的人數(shù)

男

女

（2）按高中綜合素質(zhì)評價的要求，高中學生每年參加社區(qū)服務的時間不少于20個小時才為合格，根據(jù)上面的統(tǒng)計圖表，完成抽取的這200名學生參加社區(qū)服務時間合格與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認為參加社區(qū)服務時間達到合格程度與性別有關(guān)，并說明理由.

（3）用以上這200名學生參加社區(qū)服務的時間估計全市9萬名高中學生參加社區(qū)服務時間的情況，并以頻率作為概率.

（i）求全市高中學生參加社區(qū)服務時間不少于30個小時的人數(shù).

（ⅱ）對我市高中生參加社區(qū)服務的情況進行評價.

參考公式

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.002

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（，其）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義向量的“相伴函數(shù)”為，函數(shù)的“相伴向量”為，其中O為坐標原點，記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

（1）設(shè)，求證：；

（2）已知且，求其“相伴向量”的模；

（3）已知為圓上一點，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時也解決了很多勞動力的就業(yè)問題，據(jù)某著名網(wǎng)約車公司“滴滴打車”官網(wǎng)顯示，截止目前，該公司已經(jīng)累計解決退伍軍人轉(zhuǎn)業(yè)為兼職或?qū)Ｂ毸緳C三百多萬人次，梁某即為此類網(wǎng)約車司機，據(jù)梁某自己統(tǒng)計某一天出車一次的總路程數(shù)可能的取值是20、22、24、26、28、，它們出現(xiàn)的概率依次是、、、、t、．

（1）求這一天中梁某一次行駛路程X的分布列，并求X的均值和方差；

（2）網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過時，租車費為5元，若行駛路程超過，則按每超出（不足也按計程）收費3元計費．依據(jù)以上條件，計算梁某一天中出車一次收入的均值和方差．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】今年學雷鋒日，某中學計劃從高中三個年級選派4名教師和若干名學生去當學雷鋒文明交通宣傳志愿者，用分層抽樣法從高中三個年級的相關(guān)人員中抽取若干人組成文明交通宣傳小組，學生的選派情況如下：

年級

相關(guān)人數(shù)

抽取人數(shù)

高一

99

高二

27

高三

18

2

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）若從選派的高一、高二、高三年級學生中抽取3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高三年級學生的概率；

（Ⅲ）若4名教師可去、、三個學雷鋒文明交通宣傳點進行文明交通宣傳，其中每名教師去、、三個文明交通宣傳點是等可能的，且各位教師的選擇相互獨立.記到文明交通宣傳點的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S△DEF的最大值；

(2)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F，如圖(2)，建造△DEF

連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；

（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；

（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設(shè)點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著我國經(jīng)濟的飛速發(fā)展，人民生活水平得到很大提高，汽車已經(jīng)進入千千萬萬的家庭.大部分的車主在購買汽車時，會在轎車或者中作出選擇，為了研究某地區(qū)哪種車型更受歡迎以及汽車一年內(nèi)的行駛里程，某汽車銷售經(jīng)理作出如下統(tǒng)計：

購買了轎車（輛）

購買了（輛）

歲以下車主

歲以下車主

表

圖

（I）根據(jù)表，是否有的把握認為年齡與購買的汽車車型有關(guān)？

（II）圖給出的是名車主上一年汽車的行駛里程，求這名車主上一年汽車的平均行駛里程（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（III）用表中的頻率估計概率，隨機調(diào)查名歲以下車主，設(shè)其中購買了轎車的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.

附：，.

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