Question

已知△ABC中，2tanA=1，3tanB=1，且最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為1，求角C的大小和最短邊的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：先由tanA，tanB利用兩角和公式求得tan（A+B），再根據(jù)C=180°-A-B，求得tanC，進(jìn)而得到C=

3π

4

，推斷C為三角形中的最大角，進(jìn)而根據(jù)tanA＞tanB推斷B為最小角．根據(jù)3tanB=1求得sinB，再由正弦定理求得b．

解答：解：△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∵tanA＞tanB＞0，
∴0＜B＜A＜

π

2

．
∴tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
而0＜C＜π，
∴C=

3π

4

．
∴最大角為C，最小角為B，它所對(duì)的邊b為最短邊，
∵tanB=

sinB

cosB

=

sinB

1-sin2B

=

1

3

，
∴sinB=

10

10

，
由正弦定理得

b

sinB

=

10

10

，
∴b=

sinB

2 2

=

5

5

，
故角C為

3π

4

，最短邊長(zhǎng)度為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系在解三角形中的應(yīng)用．解此題的關(guān)鍵是判斷出最大角和最小角．