Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．

給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的伴隨圓相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)是橢圓的伴隨圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：⊥.

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img width=87 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/457/441957.gif" >，所以……………………………………………2分

所以橢圓的方程為，

伴隨圓的方程為.………………………………………………………………4分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由得……………………………………………………………6分

圓心到直線的距離為 

所以……………………………………………………………………8分

（3）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?img width=12 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/471/441971.gif" >與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.…………………………………………………10分

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到，

即，………………………………………12分

，

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?img width=67 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/492/441992.gif" >，所以有，………………………………14分

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img width=25 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/470/441970.gif" >與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………………………16分