Question

1．近年來我國電子商務行業(yè)迎來篷布發(fā)張的新機遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達918億人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．
（Ⅰ）完成商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，并說明是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的5次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量X．
①求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學期望和方差．
參考數(shù)據(jù)及公式如下：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k²的值，對應數(shù)表得答案；
（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務全好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相應的概率，可得對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②利用二項分布的數(shù)學期望和方差求X的數(shù)學期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計	150	50	200

得K²=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}$≈11.111＞10.828，
可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關；
①每次購物時，對商品和服務全好評的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．
P（X=0）=0.6⁵；P（X=1）=C₅¹•0.4•0.6⁴；P（X=2）=C₅²•0.4²•0.6³；P（X=3）=C₅³•0.4³•0.6²；
P（X=4）=C₅⁴•0.4⁴•0.6；P（X=5）=0.4⁵，
②X的分布列

X	0	1	2	3	4	5
P	0.65	C51•0.4•0.64	C52•0.42•0.63	C53•0.43•0.62	C54•0.44•0.6	0.45

EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．

點評 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題．