Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=，求a，b的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)t=e^x（t≥1），則
∴
①當(dāng)a≥1時(shí)，y′＞0，∴在t≥1上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=1（x=0）時(shí)，f（x）的最小值為
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=-lna）時(shí)，f（x）的最小值為b+2；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可得）
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=，
∴，即，解得．
分析：（Ⅰ）設(shè)t=e^x（t≥1），則，求出導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，y′＞0，在t≥1上是增函數(shù)；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=-lna）時(shí)，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=，建立方程組，即可求得a，b的值．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．