Question

12．已知圓C的圓心為（2，3），半徑為1．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，1）且斜率為k的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2時(shí)，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合|AB|=2時(shí)，求斜率k的值．

解答 解：（1）由題意可知（x-2）²+（y-3）²=1；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由（1）可知
聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{（{x-2}）^2}+{（{y-3}）^2}=1\end{array}\right.$則有（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，△=-3k²+8k-3＞0
所以    ${x_1}+{x_2}=\frac{{4（{1+k}）}}{{1+{k^2}}}$①${x_1}•{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$②
因?yàn)閨AB|=2
所以$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2$③
由①②③可得   k=1．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式的應(yīng)用，正確運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．