Question

4．點（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x+y≤3\end{array}\right.$，則x²+y²-8x-10y的取值范圍為[-23，-16]．

Answer 1

分析 利用配方法結(jié)合兩點間的距離公式將x²+y²-8x-10y進行轉(zhuǎn)化，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：x²+y²-8x-10y=（x-4）²+（y-5）²-41，
設(shè)m=（x-4）²+（y-5）²，
則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（4，5）的距離的平方，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則由圖象知D到直線AB：x+y=3的距離最小，
此時d=$\frac{|4+5-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
則d²=（3$\sqrt{2}$）²=18，
D到C的距離最大，此時d=|CD|=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-1）^{2}}$=$\sqrt{9+16}$=$\sqrt{25}$=5，
則d²=25，
即18≤m≤25，
則-23≤m-41≤-16，
即x²+y²-8x-10y的取值范圍為[-23，-16]，
故答案為：[-23，-16]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用兩點間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．