Question

已知函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，并且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1
（1）求證：f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（4）=5，求解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明．
（2）利用條件f（4）=5，求f（2），利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．

解答：解：（1）在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+1=1-f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
故f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）f（4）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3，
則不等式f（3m²-m-2）＜3，等價為f（3m²-m-2）＜f（2）．
由（1）可知f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
所以3m²-m-2＜2，即3m²-m-4＜0
解得：-1＜m＜

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)．