Question

在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分線．且AD=kAC
（1）求k的取值范圍；
（2）若S_△ABC=1，問(wèn)k為何值時(shí)，BC最短？

Answer 1

分析：（1）由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，BD=

2

3

BC，CD=

1

3

BC；在△ABD和△ACD中，分別利用余弦定理可得cos

A

2

=

3

4

k；
由于 0＜

A

2

＜

π

2

，故 0＜cos

A

2

＜1，由此解得k的取值范圍．
（2）若S_△ABC=1 得到 sinA=

1

b2

≤1，故 b²≥1，由余弦定理可得 a²=5b²±4

b4-1

，令 t=b²≥1，f（t）=5t+4

t2-1

，g（t）=5t-4

t2-1

，求得f（t）的最小值為5，求得g（t）的最小值為3，故a²的最小值等于3，此時(shí)，
b²=

5

3

．△ACD中，再由余弦定理以及cos

A

2

=

3

4

k，求得k的值．

解答：解：（1）設(shè)AC=1，則 AB=2，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，BD=

2

3

BC，CD=

1

3

BC．
由余弦定理可得

4

9

BC2=4+k²-4kcos

A

2

，

1

9

BC2=1+k²-2kcos

A

2

，
∴cos

A

2

=

3

4

k．由于 0＜

A

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A

2

＜1，即 0＜

3

4

k＜1，
∴0＜k＜

4

3

，故求k的取值范圍是（0，

4

3

 ）．
（2）若S_△ABC=1=

1

2

b•2b•sinA，∴sinA=

1

b2

≤1，∴b²≥1．
∴cosA=±

1- 1 b4

，由余弦定理可得 a²=5b²-4b²cosA=5b²±4b²

1- 1 b4

=5b²±4

b4-1

，
令t=b²≥1，令f（t）=5b²+4

b4-1

=5t+4

t2-1

，令 g（t）=5b²-4

b4-1

=5t-4

t2-1

．
顯然，f（t）是增函數(shù)，f（t）≥f（1）=5．
∵g′（t）=5-

4t

t2-1

，由g′（t）=0 可得，t=

5

3

，g（

5

3

）=3，
∴g（t）≥g（

5

3

）=3，故a²的最小值等于3，故a的最小值等于

3

．
此時(shí)，t=b²=

5

3

，AC=b=

5 3

，CD=

3

3

，AD=k•AC=k•

5 3

．
△ACD中，再由余弦定理可得 CD² =AC²+AD²-2AC•AD•cos

A

2

，又cos

A

2

=

3

4

k，
上式即 

1

3

=

5

3

+

5

3

k² -2•

5

3

•k•

3

4

k，解得k=

2 10

5

．
綜上，當(dāng)k=

2 10

5

 時(shí)，a 的最小值等于

3

，即BC的最小值等于

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，求出
cos

A

2

=

3

4

k，是解題的關(guān)鍵，求得 g（t）≥g（

5

3

）=3，是解題的難點(diǎn)．