Question

（2013•臨沂一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn+an+(

1

2

)n-1=2(n∈N*)，設(shè)cn=2nan．
（I）求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）按以下規(guī)律構(gòu)造數(shù)列{b_n}，具體方法如下：b₁=c₁，b₂=c₂+c₃，b₃=c₄+c₅+c₆+c₇，…第n項b_n由相應(yīng)的{c_n}中2^n-1項的和組成，求數(shù)列{b_n}的通項b_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+a_n+(

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2

)n-1=2知，當(dāng)n=1時可求得a₁，當(dāng)n≥2時，可求得2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，由c_n=2ⁿa_n，可得數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，從而可求得其通項公式；
（II）依題意，b_n=c2n-1+c2n-1+1+c2n-1+2+…+c2n-1=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1），利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答：解：（I）在S_n+a_n+(

1

2

)n-1=2①中，令n=1，
得：S₁+a₁+1=2，
∴a₁=

1

2

．
當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1+(

1

2

)n-2=2，②
①-②得：2a_n-a_n-1-(

1

2

)n-1=0，（n≥2），…2
∴2a_n-a_n-1=(

1

2

)n-1，
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1…3分
又c_n=2ⁿa_n，
∴c_n-c_n-1=1（n≥2），又c₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，…4分
∴c_n=1+（n-1）×1=n，又c_n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

…6分
（II）由題意得
b_n=c2n-1+c2n-1+1+c2n-1+2+…+c2n-1…7分
=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）…8分
而2^n-1，2^n-1+1，2^n-1+2，…，2ⁿ-1是首項為2^n-1，公差為1的等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列共有2^n-1項，…9分，
所以，b_n=

[2n-1+(2n-1)]×2n-1

2

=

22n-2+22n-1-2n-1

2

=3×2^2n-3-2^n-2…12分

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式，（II）中b_n=2^n-1+（2^n-1+1）+（2^n-1+2）+…+（2ⁿ-1）的確定是難點，考查觀察與推理分析的能力，屬于難題．