Question

1．已知集合C={（x，y）|f（x，y）=0}，若對于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合C是“好集合”．給出下列4個集合：C₁={（x，y）|x²+y²=9}，C₂={（x，y）|x²-y²=9}，C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，C₄={（x，y）|x²+y=9}，其中為“好集合”的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“好集合”的定義可知，具備“好集合”的條件是對于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．然后逐個驗證即可得到答案．

解答 解：對于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．
對于C₁={（x，y）|x²+y²=9}，
∵圓x²+y²=9的圖象關于原點中心對稱，
∴對于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₁為“好集合”；
對于C₂={（x，y）|x²-y²=9}，當P₁（x₁，y₁）為雙曲線的頂點時，雙曲線上不存在點P₂（x₂，y₂）
∈C₂，使OP₁⊥OP₂．故集合C₂不是“好集合”；
對于C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，
∵橢圓2x²+y²=9的圖象關于原點中心對稱，
∴對于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₃為“好集合”；
對于C₄={（x，y）|x²+y=9}，
由x²+y=9，得y=-x²+9，其圖象關于y軸對稱，當P₁（x₁，y₁）為x軸與拋物線交點時，可取P₂（x₂，y₂）為拋物線的頂點，當P₁（x₁，y₁）不是x軸與拋物線交點時，OP₁的垂線一定與拋物線相交，故集合C₄為“好集合”．
∴“好集合”的個數(shù)是3個．
故選：C．

點評 本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了元素與集合的關系，考查了數(shù)學轉化思想方法，解答的關鍵是對新定義的理解，是中檔題．