Question

已知y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調(diào)函數(shù)，則b的取值范圍是

（-∞，-1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，對(duì)y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3求導(dǎo)可得，y′=x²+2bx+b+2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得若y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調(diào)函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)y′=x²+2bx+b+2的最小值必須小于0，即△=（2b）²-4（b+2）＞0，解可得答案．

解答：解：對(duì)于y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3，
y′=x²+2bx+b+2，是開口向上的二次函數(shù)，
若y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調(diào)函數(shù)，
則其導(dǎo)函數(shù)y′=x²+2bx+b+2的最小值必須小于0，即△=（2b）²-4（b+2）＞0，
解可得，b＜-1或b＞2，
即b的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）；
故答案為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，注意分析出該函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件．