Question

已知函數(shù)f（x）=ke^x-2，g（x）=

2kx-k-1

x

，若k＞0，對于?x＞0，均有f（x）≥g（x）成立，求正實數(shù)k的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由于k＞0，對?x＞0，均有f（x）≥g（x）成立，可得k＞0，對?x＞0，f（x）-g（x）=ke^x+

k+1

x

-2k-2≥0恒成立?u（x）=kxe^x-（2k+2）x+（k+1）≥0，k＞0，?x＞0．利用研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：∵k＞0，對?x＞0，均有f（x）≥g（x）成立，
∴k＞0，對?x＞0，f（x）-g（x）=ke^x+

k+1

x

-2k-2≥0恒成立
?u（x）=kxe^x-（2k+2）x+（k+1）≥0，k＞0，?x＞0．
u′（x）=ke^x+kxe^x-（2k+2）=v（x），
v′（x）=k（2+x）e^x＞0，
∴v（x）即u′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而u′（0）=-k-2＜0，x→+∞，u′（x）＞0．
∴u（x）存在極小值點．
令u′（x₀）=0，
kex0+kx₀ex0-（2k+2）=0，
∴ex0=

2k+2

k+kx0

，k=

2

ex0+x0ex0-2

．
則u（x₀）=kx₀ex0-（2k+2）x₀+（k+1）=

(2k+2)x0-(2k+2)x0(1+x0)+(k+1)(1+x0)

1+x0

≥0，
∴2 x02-x₀-1≤0，
解得0＜x₀≤1．
∴0＜ex0+x₀ex0≤2e-2，
則k≥

1

e-1

．
∴k的取值范圍是[

1

e-1

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了多次求導解決問題，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．