Question

函數(shù)f（x）=，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R）），A={x|≤0}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，對任意x∈A時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的范圍；
（Ⅲ）如果b＞0，當“f（x）≥0對任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內(nèi)必有解”同時成立時，求3a+b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）令，則x²=t²-1，
f（x）≤0即即t²-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以，所以x∈[-，-]∪[，]，
即A=[-，-]∪[，]，…
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=≥0恒成立，
∵，即，
∵，
a≤==恒成立，
因為=2，所以a．
…
（Ⅲ）對任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b
得a+b，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤，
∵b＞0，∴a≤=，≥3a． …
∴a，b滿足條件所表示的區(qū)域，設3a+b=t，b=-3a+t，
根據(jù)可行域求出當a=，b=時取得．
所以3a+b的最大值為3． …
分析：（Ⅰ）利用換元法直接求解不等式的解集，即可得到集合A；
（Ⅱ）通過b=0，對任意x∈A時，f（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過基本不等式，即可實數(shù)a的范圍；
（Ⅲ）利用b＞0，當“f（x）≥0對任意x∈A恒成立”與“g（x）≤0在x∈A內(nèi)必有解”同時成立，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，然后求3a+b的值．
點評：本題考查不等式的解法，函數(shù)的最值以及線性規(guī)劃基本不等式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．