在棱長為a的正方體OABC-O¢A¢B¢C¢中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．

（1）求證A¢F^C¢E；

（2）當(dāng)三棱錐B¢-BEF的體積最大時，求二面角B¢-BF-B的大�。�

答案：
解析：

證法一：（1）如圖：設(shè)AE=BF=x，延長AB到M使AB=BM，過M作BQ使MQ∥BC，MQ=a+x，連C¢Q，則C¢Q∥AF¢ÐEC¢Q就是異面直線A¢F與C¢E所成的角（或補角），在DC¢EQ中，C¢E=

∴ ÐEC¢Q=90°    即A¢F^C¢E

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號，即E、F都是中點，

過B作BD^EF于D，連結(jié)B¢D，ÐB¢DB</i>就是二面角的平面角，ÞÐB¢DB=arctan

證法二：（1）以為x正半軸，為y正半軸，為z正半軸，AE=BF=x，則A¢(a，0，a)，F(a-x，a，0)，C¢(0,a，a)，E(a，x，0)

=(-x，a，-a)    =(a，x-a，-a)

=-xa+ax-a2+a2=0    ∴

∴ A¢F^C¢E

（2）同上


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大小；
（2）求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大小；
（3）求點C到側(cè)面A1B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分別是A1B、AC、A1C1的中點，且OH⊥O1B，垂足為H．
（1）求證：MO∥平面BB1C1C；
（2）分別求MO與OH的長；
（3）MO與OH是否為異面直線A1B與AC的公垂線？為什么？求這兩條異面直線間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC、BD的交點，E，F(xiàn)分別是AB與AD的中點．
（1）求證：直線OD1與直線A1C1垂直；
（2）求異面直線EF與A1C1所成角的大��；
（3）求二面角B-AC-D1的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2001•上海）在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海 題型：解答題

在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）
精英家教網(wǎng)

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