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數列{an}中a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an-n( n-1 ),n=1,2,….
(1)證明數列
n+1
n
Sn}
是等差數列;
(2)求Sn關于n的表達式;
(3)設 bn=
1
n3
Sn
,求數列{bn}的前n項和Tn
分析:(1)利用an=Sn-Sn-1,結合條件,可得
n+1
n
Sn-
n
n-1
Sn-1=1  ( n≥2 )
,即可證得結論;
(2)由(1)得
n+1
n
Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n
,從而可求Sn的表達式;
(3)由(2)得bn=
1
n( n+1 )
=
1
n
-
1
n+1
,利用拆項法可求出數列{bn}的前n項和Tn
解答:證明:(1)由Sn=n2an-n( n-1 ),得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n( n-1 )  ( n≥2 )
n2-1 )Sn-n2Sn-1=n( n-1 ),故
n+1
n
Sn-
n
n-1
Sn-1=1  ( n≥2 )
.…(2分)
∴數列由
n+1
n
Sn }
是首項2S1=2a1=1,公差d=1的等差數列; …(4分)
解:(2)由(1)得
n+1
n
Sn=2 S1+( n-1 )d=1+n-1=n
.…(6分)
Sn=
n2
n+1
;                                           …(8分)
(3)由(2),得bn=
1
n3
Sn
=
1
n3
n2
n+1
=
1
n( n+1 )
=
1
n
-
1
n+1
.…(10分)
∴數列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
+
1
n
-
1
n+1
…(12分)
=1-
1
n+1
=
n
n+1
.                                 …(14分)
點評:本題重點考查等差數列的定義,考查數列的通項,數列的求和等.解題的關鍵是利用an=Sn-Sn-1,進行化簡,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an}中a1=2,an+1=
1
2
(an+
1
an
)
,{bn}中bn • log9
an+1
an-1
=1,n∈N*
.求證:數列{bn}為等比數列,并求出其通項公式;

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科目:高中數學 來源: 題型:

下面幾種推理過程是演繹推理的是( �。�

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科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an} 中a1=
1
2
,前n項和Sn滿足Sn+1-Sn=(
1
2
)n+1
(n∈N*).
( I ) 求數列{an}的通項公式an以及前n項和Sn;
(Ⅱ)記  bn=
n+1
2an
(n∈N*)求數列{bn} 的前n項和Tn;
(Ⅲ)試確定Tn
5n
4n+2
(n∈N*)的大小并證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中a1=1,an+1=an+
1
n2+n
,則an=
2n-1
n
2n-1
n

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
x2
+4(x≠0),各項均為正數的數列{an}中a1=1,
1
an+12
=f(an)(n∈N+).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)數列{bn}滿足:?n∈N+,bn=
a
2
n
(3n-1)
a
2
n
+n
,Sn為數列{bn}的前n項和,若Sn>a對?n∈N+恒成立,求實數a的取值范圍.

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