Question

電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．右圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖．將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．
（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料判斷你是否有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關？

	非體育迷	體育迷	合計
男
女
合計

（2）將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d為樣本容量

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.0635

Answer 1

考點：獨立性檢驗,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用頻率分布直方圖直接完成2×2列聯表，通過計算K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，說明是否有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關．
（2）寫出一切可能結果所組成的基本事件空間為Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，事件A由7個基本事件組成，利用古典概型求解即可．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，…（1分）
從而完成2×2列聯表如下：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

…（2分）
將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得k=

100×(30×10-45×15)2

75×25×45×55

=

100

33

≈3.030…（5分）
因為3.030＜3.841，所以我們沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關． …（6分）
（2）由頻率分布直方圖知“超級體育迷”為5人，
從而一切可能結果所組成的基本事件空間為Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}
其中a_i表示男性，i=1，2，3，b_j表示女性j=1，2．Ω由這10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現是等可能的．
用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}…（10分）
事件A由7個基本事件組成，因而P(A)=

7

10

．                  …（12分）

點評：本題考查獨立性檢驗以及古典概型計算公式的應用，正確列出基本事件總數以及所求概率的事件總數是解題的關鍵，考查基本知識的應用．