Question

13．已知圓的一內(nèi)接四邊形ABCD的四邊AB=BC=2，CD=4，DA=6．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 首先由已知條件圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，連接對(duì)角線然后由邊長求得夾角的度數(shù)，再分別求得三角形的面積，再求解即可得到答案．

解答 解：如圖，連接BD，則有四邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△CDB=$\frac{1}{2}$AB•ADsinA+$\frac{1}{2}$BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S=$\frac{1}{2}$（AB•AD+BC•CD）sinA=$\frac{1}{2}$（2×6+2×4）sinA=10sinA．
∴由余弦定理，在△ABD中可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+6²-2×2×6cosA=40-24cosA，
在△CDB中可得：BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=2²+4²-2×2×4cosC=20-16cosC，
∴40-24cosA=20-16cosC，
∵cosC=-cosA，
∴40cosA=20，cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°，
∴S=10sin60°=5$\sqrt{3}$．．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，考查運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．