Question

10．已知函數f（x）=e^x-k-x，（x∈R）
（1）當k=0時，若函數f（x）≥m在R上恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）試判斷當k＞1時，函數f（x）在（k，2k）內是否存在零點．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，得到函數f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；
（2）求出f（x）的導數，計算f（k），f（2k）的值，根據函數f（x）的單調性，令h（k）=e^k-2k，結合零點存在定理判斷即可．

解答 解：（1）當k=0時，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≤1，
∴實數m的取值范圍是（-∞，1]．
（2）當k＞1時，f（x）=e^x-k-x，f'（x）=e^x-k-1＞0在（k，2k）上恒成立．
∴f（x）在（k，2k）上單調遞增，
又f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k，
令h（k）=e^k-2k，
∵h'（k）=e^k-2＞0，∴h（k）在k＞1時單調遞增，
∴h（k）＞e-2＞0，即f（2k）＞0，
∴由零點存在定理知，函數f（x）在（k，2k）內存在唯一零點．

點評 本題考查了函數的恒成立和零點問題的解法，注意運用導數判斷單調性、最值，以及函數零點存在定理，考查轉化思想，是一道中檔題．