Question

已知向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ）（0≤θ≤π）．
（1）若

a

⊥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，解出即可．
（2）

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），利用模的計(jì)算公式可得|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，再利用0≤θ≤π，(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]．及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinθ+cosθ=0，
∴tanθ=-1，
∵0≤θ≤π，∴θ=

3π

4

．
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，
∵0≤θ≤π，(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]．
∴當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

時(shí)，sin(θ+

π

4

)取得最大值1，此時(shí)|

a

+

b

|取得最大值

3+2 2

=

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量模的計(jì)算公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．